http://toanthaydu.blogspot.com/

Vấn đề 3
HÀM SỐ BẬC HAI
3.1 Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa:
Hàm số bậc hai là hàm số cho bằng biểu thức y = ax 2 + bx + c (trong đó a, b, c là những hằng
số và a ≠ 0 ).
2. Đồ thị của hàm số bậc hai
Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c là đường parabol có
∆
 b
+ Đỉnh là điểm I  − ; −  với ∆ = b 2 − 4ac ;
 2a 4 a 
b
+ Trục đối xứng là đường thẳng x = −
;
2a
+ Nếu a > 0 parabol có bề lõm hướng lên trên, nếu a < 0 parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

( a > 0)

( a < 0)

Bảng biến thiên

Bảng biến thiên

3.2 Ví dụ minh họa
A. Bài tập tự luận
Dạng 1 : Vẽ đồ thị hàm số
*Phương pháp giải :
Để vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Xác định đỉnh của parabol ;
Bước 2 : Xác định trục đối xứng và hướng của parabol ;
Bước 3 : Xác đinh một số điểm thuộc parabol (giao với các trục tọa độ, các điểm đối xứng với
nhau qua trục đối xứng).
Căn cứ vào các điểm đã xác định và hướng của bề lõm ta vẽ được parabol.

Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù

§T: 0984 214 648

http://toanthaydu.blogspot.com/

Ví dụ 1 : Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
a) y = x 2 − 2 x − 3 .
b) y = 2 x 2 + 4 x + 3 .
c) y = − x 2 + 3x .

Lời giải
a) Xét hàm số y = x − 2 x − 3
2

Tập xác định : ℝ .
a = 1 > 0 nên ta có
Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên (1; +∞ ) .
Hàm số nghịch biến trên ( −∞;1) .

Đồ thị hàm số là đường parabol có
+ Đỉnh là điểm I (1; −4 ) .
+ Trục đối xứng là đường thẳng x = 1 .
a = 1 > 0 nên parabol có bề lõm hướng lên trên.

x = 0 ⇒ y = −3 nên parabol cắt trục tung tại điểm ( 0; −3) .
 x = −1
y = 0 ⇒ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ 
nên parabol cắt trục hoành tại hai điểm ( −1;0 ) và ( 3;0 ) .
x = 3

Parabol đi qua các điểm ( −1;0 ) , ( 0; −3) , (1; −4 ) , ( 2; −3) , ( 3;0 ) .

b) Xét hàm số y = 2 x 2 + 4 x + 3

Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù

§T: 0984 214 648

http://toanthaydu.blogspot.com/

c) Xét hàm số y = − x 2 + 3x

Dạng 2 : Xác định phương trình hàm số bậc hai
Phương pháp giải : Để xác định phương trình hàm số bậc hai ta căn cứ và các điều kiện của đồ
thị của hàm số bậc hai như điểm thuộc đồ thị hàm số, trục đối xứng, đỉnh của parabol để thiết lập
các phương trình.
Ví dụ 1: Xác định hàm số y = ax 2 + bx + c có đồ thị đi qua ba điểm A ( 0;2 ) , B ( 2;0 ) , C ( −1;6 )
.

Lời giải :
Gọi đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c là ( P ) .

( P)
( P)
( P)

đi qua điểm A ( 0; 2 ) ta có c = 2 (1).
đi qua điểm B ( 2;0 ) ta có 4a + 2b + c = 0 (2).
đi qua điểm C ( −1;6 ) ta có a − b + c = 6 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình
a = 1
c = 2


4a + 2b + c = 0 ⇔ b = −3 .
a − b + c = 6
c = 2


Vậy hàm số cần tìm là y = x 2 − 3x + 2 .

Ví dụ 2: Xác định hàm số y = x 2 + bx + c có đồ thị là đường parabol ( P ) biết ( P ) có trục đối
xứng là đường thẳng x = 2 và đi qua điểm M (1; −2 ) .

Lời giải :

b
= 2 ⇒ b = −4 (1).
2
( P ) đi qua điểm M (1; −2 ) ta có 1 + b + c = −2 ⇔ b + c = −3 (2)

( P)

có trục đối xứng x = 2 ⇒ −

Từ (1) và (2) ta có
b = −4
b = −4
⇔
.

b + c = −3
c = 1
Vậ y ( P ) : y = x 2 − 4 x + 1 .

Ví dụ 3 : Xác định parabol y = ax 2 + bx + c biết parabol đi qua điểm M (1;2 ) và có đỉnh là điểm

I ( 2;3) .
Lời giải :
Gọi đồ thị hàm số y = ax + bx + c là parabol ( P ) .
2

( P)
( P)

đi qua điểm M (1; 2 ) ta có a + b + c = 2 (1).
có đỉnh là điểm I ( 2;3) ta có

 b
=2
 4a + b = 0
−
⇔
(2).
 2a
4a + 2b + c = 3
4a + 2b + c = 3

Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù

§T: 0984 214 648

http://toanthaydu.blogspot.com/

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
a + b + c = 2
a = −1


⇔ b = 4 .
4a + b = 0
c = −1
4a + 2b + c = 3


Vậ y ( P ) : y = − x 2 + 4 x − 1 .

Ví dụ 4: Cho hàm số y = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình dưới đây. Tính a 2 + b 2 + c 2 .

Lời giải
Gọi đồ thị hàm số y = ax + bx + c là parabol ( P ) . Từ hình vẽ ta thấy ( P ) đi qua điểm M ( 0; −3)
2

và có đỉnh là điểm I (1; −4 ) .

( P)
( P)

đi qua điểm M ( 0; −3) ta có c = −3 (1).
có đỉnh I (1; −4 ) ta có

 b
=1
 2a + b = 0
−
⇔
(2).
 2a
 a + b + c = −4
a + b + c = −4
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
c = −3
a = 1


⇔ b = −2 .
 2a + b = 0
a + b + c = −4
c = −3


Vậy a 2 + b 2 + c 2 = 12 + ( −2 ) + ( −3) = 14 .
2

2

Ví dụ 5: Xác định hàm số y = ax 2 + bx + c với a , b , c là các tham số, biết rằng hàm số ấy đạt
giá trị lớn nhất bằng 5 tại x = −2 và có đồ thị đi qua điểm M (1; − 1) .

Lời giải :
Vì hàm số y = ax + bx + c đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại x = −2 nên ta có a < 0 và đồ thị hàm
2

số y = ax 2 + bx + c là đường parabol ( P ) có đỉnh là điểm I ( −2;5 ) .
Parabol ( P ) có đỉnh I ( −2;5 ) ta có hệ phương trình

 b
= −2
 4a − b = 0
−
⇔
(1).
 2a
4a − 2b + c = 5
4a − 2b + c = 5

Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù

§T: 0984 214 648

http://toanthaydu.blogspot.com/

Parabol ( P ) đi qua điểm M (1; −1) ta có a + b + c = −1 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
2

a = − 3
4a − b = 0

8


4a − 2b + c = 5 ⇔ b = − .
3
 a + b + c = −1


7

c = 3


2
8
7
Vậy hàm số cần tìm là y = − x 2 − x + .
3
3
3
Dạng 3 Sử dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình
Ví dụ 1 : Cho hàm số y = x 2 − 4 x + 3 .
a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho .
b) Từ đồ thị hàm số trên hãy suy ra đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 .
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 2 − 4 x + 3 = m .

Lời giải
a) Đồ thị hàm số y = x − 4 x + 3 là đường parabol ( P ) có
2

+ Đỉnh là điểm I ( 2; −1) ;
+ Trục đối xứng là đường thẳng x = 2 .
a = 1 > 0 nên parabol có bề lõm hướng lên trên.
x = 0 ⇒ y = 3 parabol cắt trục tung tại điểm (0;3) .

x = 1
suy ra parabol cắt trục hoành tại hai điểm (1;0 ) và ( 3;0 ) .
y = 0 ⇒ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ 
x = 3

b) Để vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 ta thực hiện như sau :
Bước 1 : Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 ;
Bước 2 : Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 nằm dưới trục Ox qua trục Ox ;
Bước 3 : Xóa phần đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 nằm bên dưới trục Ox .

Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù

§T: 0984 214 648

http://toanthaydu.blogspot.com/

c) Số nghiệm của phương trình x 2 − 4 x + 3 = m (*) là số giao điểm của đường thẳng y = m và

đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3

Từ hình vẽ trên ta thấy
+ Nếu m < 0 đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 không có điểm chung nên
phương trình (*) vô nghiệm.
+ Nếu m = 0 đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 có hai điểm chung nên phương
trình (*) có hai nghiệm.
+ Nếu 0 < m < 1 đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 có 4 điểm chung nên
phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
+ Nếu m = 1 đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 có 3 điểm chung nên phương
trình (*) có 3 nghiệm.
+ Nếu m > 1 đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 3 có 2 điểm chung nên phương
trình có 2 nghiệm.
Vậy với m < 0 phương trình (*) vô nghiệm ;
Với m = 0 hoặc m > 1 phương trình (*) có 2 nghiệm ;
với m = 1 phương trình (*) có 3 nghiệm ;
với 0 < m < 1 phương trình (*) có 4 nghiệm.
Dạng 4 Sử dụng đồ thị, bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai để tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = − x 2 + 2 x − 3 trên [ 0;3]

Lời giải
Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù

§T: 0984 214 648

http://toanthaydu.blogspot.com/

Bảng biến thiên của hàm số y = − x 2 + 2 x − 3 trên [ −1; 2] là

Từ bảng biến thiên trên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên [ −1; 2] bằng -2 tại x = 1
giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ −1; 2] bằng -6 tại x = −1 .

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + 2 x − 4 x 2 + 2 x + 17
Lời giải
Tập xác định của hàm số : ℝ

Đặt t = x 2 + 2 x + 17 .
Ta có x 2 + 2 x + 17 = ( x + 1) + 16 .
2

Với mọi x ta có ( x + 1) ≥ 0 ⇒ ( x + 1) + 16 ≥ 16 nên ta có t ≥ 4 .
2

2

Ta có x 2 + 2 x − 4 x 2 + 2 x + 17 =

(

x 2 + 2 x + 17

) −2
2

x 2 + 2 x + 17 − 17 = t 2 − 2t − 17 .

Hàm số đã cho trở thành f ( t ) = t 2 − 2t − 17 với t ∈ [4; +∞) .
Bảng biến thiên của hàm số f ( t ) = t 2 − 2t − 17 trên [4; +∞) là

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -9 khi t = 4 hay x = −1 .
Hàm số không có giá trị lớn nhất.
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Đồ thị của hàm số y = x 2 + 2 x − 5 có trục đối xứng là đường thẳng

A. x = 1 .

B. x = −1 .

C. y = 1 .

D. y = −1 .

Lời giải
Parabol y = ax 2 + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng x = −

b
nên ta suy ra đồ thị
2a

hàm số y = x 2 + 2 x − 5 có trục đối xứng là đường thẳng x = −1 .
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 2: Đồ thị của hàm số y = − x 2 + 4 x − 1 là đường parabol có đỉnh là điểm

A. I1 ( 2;3) .

B. I 2 ( 3;2 ) .

C. I3 ( −2; −13) .

D. I 4 ( −13; −2 ) .

Lời giải
Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù

§T: 0984 214 648

http://toanthaydu.blogspot.com/

Parabol

∆
 b
y = ax 2 + bx + c có đỉnh là điểm I  − ; −  nên đồ thị hàm số
 2a 4 a 

y = − x 2 + 4 x − 1 có đỉnh là điểm I1 ( 2;3) .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây

A. y = −3 x + 1 .

B. y = 2 x 2 − 3 x − 1 .

C. y = − x 2 + 2 x − 2 .

D. y = − x 2 + 2 x + 2 .
Lời giải

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số là đường parabol nên ta loại đáp án A.
Parabol có bề lõm hướng xuống dưới suy ra hệ số a < 0 nên ta loại đáp án B.
b
nằm bên phải trục tung
Từ đồ thị hàm số ta thấy trục đối xứng là đường thẳng x = −
2a
b
nên −
> 0 mà a < 0 nên b > 0 . Vậy ta loại đáp án C và chọn đáp án D.
2a
Câu 4: Cho hàm số y = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ sau

Trong các số a, b, c có bao nhiêu số thực dương

A. 0 .

Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

§T: 0984 214 648

http://toanthaydu.blogspot.com/

Từ hình vẽ ta thấy parabol có bề lõm hướng lên trên nên a > 0 .

Parabol cắt trục hoành tại điểm ( 0;c ) nằm dưới trục hoành nên c < 0 .
Trục đối xứng của parabol x = −

b
b
b
nằm bên trái trục tung nên −
<0⇔
> 0 mà
2a
2a
2a

a > 0 nên b > 0 .
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 5 : Hàm số nào trong các hàm số sau có bảng biến thiên như hình vẽ :

A. y = − x 2 − 2 x + 1 .

B. y = x + 1 .

C. y = −2 x 2 + 8 x + 1 .

D. y = x 2 − 2 x − 1 .
Lời giải
Hàm số y = x + 1 đồng biến trên ( −∞; +∞ ) nên ta loại đáp án B.
Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có hệ số a < 0
nên ta loại được đáp án D.
Parabol y = ax 2 + bx + c có đỉnh là điểm I ( −1; 2 ) nên ta loại đáp án C và chọn đáp án A.

3.3 Bài tập luyện tập
A. Bài tập tự luận
Bài 1: Xác định parabol ( P ) : y = ax2 + bx + 2 , biết rằng ( P ) đi qua điểm M (1;5) và có trục đối
1
xứng là đường thẳng x = − .
4
 1 11 
Bài 2: Xác định parabol ( P ) : y = ax2 + 2 x + c , biết rằng I  ;  là đỉnh của ( P ) .
2 2 

Bài 3: Tìm parabol ( P ) : y = ax 2 + bx + c , biết rằng ( P ) đi qua ba điểm A (1; − 1) , B ( 2;3) ,

C ( −1; − 3) .
B. Bài tập trắc nghiệm
3.4 Hướng dẫn giải bài tập tự luyện
Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù

§T: 0984 214 648